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【知識錦囊】過定點的直線與雙曲線交點情況的探討!

2019-10-14  花好月圓s...

距高考還有237天

1任意直線與雙曲線交點情況

備注:此情況下m≠0,如果m=0,一次方程無解,直線L就會與漸近線重合,則與雙曲線無交點。

備注:由以上結論可知,任意一條直線與雙曲線的交點最多為2個,最少為0個,也有1個的情況(直線與雙曲線相切或者直線與漸近線平行)。

2過定點與雙曲線僅一個交點的直線情況

接下來重點討論過定點與雙曲線只有一個交點的直線條數情況,總共有以下6種情況。
①定點P在雙曲線內,如下圖綠色區域(不包含在雙曲線上的情況):

此時,過定點P與雙曲線只有一個交點的直線有兩條,且這兩條直線分別與對應的兩條漸近線平行,具體如下:

備注:根據上圖點P在雙曲線內,很明顯可以看出過定點P與雙曲線有兩個交點的直線有無數條,與雙曲線無交點的直線有0條,所以此處只探討過定點P與雙曲線只有一個交點的直線條數這種相對復雜的情況,并且這種情況也是常考點!

②定點P在雙曲線與漸近線之間,如下圖綠色區域(不包含原點,在雙曲線上和漸近線上的情況):
此時,過定點P與雙曲線只有一個交點的直線有四條,其中兩條直線分別與對應的兩條漸近線平行(藍色),另外兩條直線與雙曲線相切(粉色),且切點相切在雙曲線的同一支上,具體如下:
③定點P在兩條漸近線之間,如下圖綠色區域(不包含原點,在漸近線上的情況):

此時,過定點P與雙曲線只有一個交點的直線有四條,其中兩條直線分別與對應的兩條漸近線平行(藍色),另外兩條直線與雙曲線相切(粉色),且切點相切在雙曲線的兩支上,具體如下:

④定點P在雙曲線上,如下圖綠色區域

此時,過定點P與雙曲線只有一個交點的直線有三條,其中兩條直線分別與對應的兩條漸近線平行(藍色),另外一條直線與雙曲線相切(粉色),具體如下:

⑤定點P在漸近線上,如下圖綠色區域(不包含原點)

此時,過定點P與雙曲線只有一個交點的直線有兩條,其中一條直線與對應的漸近線平行(藍色),另外一條直線與雙曲線相切(粉色),具體如下:

⑥定點P在原點上,如下圖:
可知此時過原點,與雙曲線只有一個交點的直線是不存在,即0條。

綜上6種情況,過定點與雙曲線只有一個交點的直線有4條(兩種情況),3條,2條(兩種情況)或者0條的可能,具體情況是由定點在坐標軸的位置決定的。

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